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Traiettorie di particelle cariche in QuickField

La versione 5.0 introduce la possibilitÓ di tudiare le traiettorie di particelle cariche in movimento nei campi elettrostatici piani ed assialsimmetrici, facendo uso di un approccio originale basato sulla nostra implementazione della tecnologia ad Elementi Finiti1 e su moderni algoritmi computazionali2.

Il calcolo delle traiettorie utilizza i dati seguenti:

  • Il campo elettrostatico calcolato,

  • Attributi della particella: carica, massa, velocitÓ o energia iniziale; la velocitÓ iniiale pu˛ essere diretta al di fuori del piano di calcolo,

  • Attributi dell'emittente; coordinate (punto di partenza di tutte le traiettorie del fascio), limiti per l'angolo fra velocitÓ iniziale ed assi orizzontali, ed il numero totale di traiettorie nel fascio.

Dalla visione dei risultati del calcolo, si leggono:

  • Le proiezioni delle traiettorie del fascio sul piano di calcolo,

  • I parametri cinematici in ogni punto delle traiettorie,

  • velocitÓ,

  • accelerazione,

  • la lunghezza del cammino ed il tempo impiegato per giungere ad ogni punto della traiettoria.

Per il calcolo delle traiettorie QuickField si basa sui seguenti presupposti:

  • Non ci sono effetti relativistici,

  • Il campo elettrostatico all'interno di ogni elemento finito varia linearmente con le coordinate,

  • Il campo delle cariche nello spazio del fascio pu˛ essere trascurato nell'equazione del moto (approssimazione di "corrente infinitamente piccola"),

  • E' possibile ignorare le caratteristiche fisiche particolari dell'emitente, cosicche tutte le particelle del fascio hanno lo stesso punto di partenza e la stessa energia cinetica.

In accordo a questi presupposti, possiamo descrivere la traiettoria (x(t), y(t), z(t)) di una particella carica in un campo elettrostatico bidimensionale E(x,y) con il sistema di equazioni differenziali di Newton:

Riscriviamo questo sistema di tre equazioni del second'ordine come sei equazioni del prim'ordine, ed introduciamo la seguente ulteriore equazione:

ove l(t) Ŕ la lunghezza della traiettoria percorsa dalla particella nel tempo t. Integriamo il sistema risultante utilizzando il metodo di Runge-Kutta-Merson con passo d'integrazione definito automaticamente. L'integrazione numerica si arresta immediatamente prima del contorno dell'elemento finito, escludendo il passo che porta al di fuori dell'elemento stesso. All'ultimo punto nell'elemento, estrapoliamo la traiettoria con termini cubici del suo sviluppo in serie di Taylor rispetto al tempo, e risolviamo l'equazione risultante impiegando la formula di Tartaglia-Cardano e prendendo in considerazione la possibilitÓ di una riduzione di grado dell'equazione in campi omogenei o nulli.

QuickField 6.3